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学数学的意义(上) 没有数学基础,你很难接受高等教育

有一位初三的同学在知乎上问及学习数学的意义,这个问题有1200+的关注量。

 

作者刘笑,很用心地发了一篇开源的文章。赞同量接近800。小编认为这是一篇通俗易懂,又不失严谨的文章。

小编决定分享给大家看。

这个阶段的学生确实难以理解初中数学的实际用处,需要耐心解释。

我不知道现在的老师会不会给学生介绍学科的知识框架,我上初中的时候是没有老师给介绍的,现在想想如果当时有人可以给我介绍一下,至少会更清楚自己对什么更感兴趣的。不过因为父亲是小学老师,所以很早就知道了教学大纲、课程标准(这个是上中学的时候才出来的东西)这类东西,这类东西对我形成知识框架和良好的学习习惯还是有不少好处的。
闲话不说,开讲正题:学习数学,意义何在?为什么数学是主科而理化是副科呢?

学数学的意义(上) 没有数学基础,你很难接受高等教育

以下从三个方面来论述:

一、中学数学有什么用?

1、初中数学学什么?

初中数学在我上学的时代还是分成代数和几何两门学科的。

代数的学习内容包括:代数与代数式、有理数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组、不等式和不等式组、整式的乘法、因式分解、分式、数的开方、二次根式、一元二次方程、函数及其图象、统计初步。

几何的学习内容包括:线段与角、平行与相交、三角形、四边形、相似性、解直角三角形、圆。

数学的难度极速提升是在初二上学期。由于因式分解和三角形的解题对模式化和技巧性要求很高,学生需要不少枯燥的训练,同时需要一定的观察力,成绩拉开是在这个阶段,不少学生对数学兴趣丧失也是在这个阶段。

初中新课程:

有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形;

相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程、不等式和不等式组;

三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式;

二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析;
一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率初步;

反比例函数、相似、锐角三角函数、投影和视图。

新课程加了许多新内容,深度也增加了,很多内容也重新编排了先后顺序。


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2、高中数学学什么?

高中老课程:集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线、立体几何、排列与组合、概率与统计、极限、导数、复数。

高中新课程:

必修:集合与函数、指数与对数函数、函数的应用、平面几何体、空间关系、直线方程、圆方程、算法、统计、概率、三角函数、平面向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式

文科选修:简易逻辑、圆锥曲线、导数、统计应用、推理证明方法、复数、框图

理科选修:简易逻辑、圆锥曲线、立体几何、导数、复数、推理证明方法、计数原理、随机变量、统计。

其他的自选课(可以想象,除了很牛逼的学校,基本不会上):数学史、球面几何、对称与群论、几何证明、矩阵运算、坐标系和参数方程、不等式("花式"不等式)、初等数论、试验设计、风险决策、布尔代数。

不得不说,新课程的自选课简直是炫酷屌炸天。

学数学的意义(上) 没有数学基础,你很难接受高等教育
3、中学课程与大学课程的衔接:

数学可以简单地进行大致归类:代数、几何、分析和数论。

如果不是数学系的大学生,一般在本科会学到高等数学、线性代数、概率论和数理统计这三门课程中的两到三门。高等数学就属于分析范畴,线性代数显然属于代数范畴,概率论和数理统计属于应用数学范畴,但需要分析和代数工具。几何和数论一般只有数学系和少数专业学习。

中学数学知识是学习大学数学知识的基础,这就是学习中学数学的意义所在。这个结论如此简单明白,以至于几乎不需要论证。不过还是大致梳理一下中学数学知识的联系,以及它们如何构成大学数学的学习基础,方不愧写这么多字嘛!
先说代数和分析:

小学我们计算都是数的运算,结果就是一个数,所以学的都是数的运算法则。到了中学,我们想用一个可以做万金油的字母代替所有数,所以引入的代数式。这是一种语言体系的转换,我们使得运算更加一般化了。引入代数式之后出现了数系的扩充。a-b(a<b,a和b都是整数)引出了负数,a/b(a<b,b≠0,a和b都是整数)引出了分数。所以我们把原来的整数扩展为有理数。这是另一种语言体系的转换,我们使得运算的范围扩大了。

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然后我们开始学习整式的加减和乘法,并且学了整式乘法的逆运算——因式分解,并且从另一条主线上,我们也学习了由整式构成的方程,一元一次方程二元一次方程不等式。整式也能够做除法,变成分式,同时也可以做分式方程。但是,在解一元二次方程时遇到了x^2=a(a>0)的情况,原来的语言体系不好用了,所以引入了数的开方运算,引入了无理数,将数系扩充到实数领域,以及代数式的形式——根式,这样就解决了解一元二次方程的问题。我中考时,数学只考一元二次方程、函数和统计初步,因为一元二次方程和函数涉及到所有之前学到的代数知识,所以前面讲的内容就没必要考了。

学了好了基本的运算(加减乘除和开方)以后,引入了函数。这是现代数学最重要的概念之一,也是分析学的研究对象,因此它是中学数学最核心的知识。而函数的知识,在日常生活中几乎是用不到的,这个概念在近代数学在真正被提出来,在18-19世纪才有真正严格化的理论,更高级和严格的理论20世纪才产生。但是几乎所有的数学理论和科学理论都是建构在这个大厦之上。

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初中函数的应用基本也是在解方程和不等式上,但是引入函数以后,数学的语言体系就提高了一个新的层次,就和引入代数式以后提高了一个新的层次一样,高中数学的非几何和统计部分几乎完全建构在函数理论上。

高中数学首先引入集合语言,这是现代数学的理论基石,引出后文对函数的定义。但高中水平的数学几乎用不到这个东西。我高中完全不理解集合语言,只是会区分概念和集合运算。然后开始讲解函数的一般性质,包括各种初等函数(指数、对数、三角函数),以及一种特殊的函数(自变量为正整数)——数列

数列这个词,到高数里面就变成序列了,无法理解为啥不在高中就叫序列。函数和数列是高中数学最难的部分,也是高等数学基础的基础。然后通过三角函数引出平面向量,介绍简单的向量代数——又一次数学语言的重大飞跃:我们发现能够运算的不仅是数,还有代数式;不仅是代数式,还有有序的数和代数式;平面向量代数可以说已经初具线性代数的样子了,不过由于过于简单,线性代数的核心概念没有办法引入,所以可能无法体会其中威力。

学数学的意义(上) 没有数学基础,你很难接受高等教育

然后是不等式,这是我学高中数学最吃力的一环,书上的题简单无极限,考试题千回百转。等接触了数学分析才知道,解不等式才是分析的看家本领。高考题的最后一题,基本上就是函数数列不等式的杂糅体。这些基础打牢以后,就开始学习极限导数,再深一点的再加点微积分;这已经是高等数学的内容了,高中数学浅尝辄止,也就那么回事吧。

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